Question

8．设函数F（x）=$\frac{f（x）}{e^x}$是定义在R上的函数，其中f（x）的导函数为f'（x），满足f'（x）＜f（x）对于x∈R恒成立，则（　　）

• A． f（2）＞e²f（0），f（2 017＞e²⁰¹⁷f（0）
• B． f（2）＞e²f（0），f（2 017）＜e²⁰¹⁷f（0）
• C． f（2）＜e²f（0），f（2 017）＞e²⁰¹⁷f（0）
• D． f（2）＜e²f（0），f（2 017）＜e²⁰¹⁷f（0）

Answer 1

分析 对f（x）求导，利用f'（x）＜f（x）得到单调性，利用单调性求2与0以及2017与0的函数值的大小．

解答 解：F'（x）=[$\frac{f（x）}{e^x}$]'=$\frac{f'（x）{e}^{x}-f（x）{e}^{x}}{（{e}^{x}）^{2}}=\frac{f'（x）-f（x）}{{e}^{x}}$，因为f'（x）＜f（x），
所以F'（x）＜0，所以F（x）为减函数，
因为2＞0，2017＞0，
所以F（2）＜F（0），F（2017）＜F（0），
即$\frac{f（2）}{{e}^{2}}＜\frac{f（0）}{{e}^{0}}$，所以f（2）＜e²f（0）；
$\frac{f（2017）}{{e}^{2017}}＜\frac{f（0）}{{e}^{0}}$，即f（2017）＜e²⁰¹⁷f（0）；
故选D．

点评 本题考查了利用函数的单调性判断函数值的大小关系；关键是正确判断F（x）的单调性，并正确运用．