Question

18．已知双曲线C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的渐近线方程为y=±$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$x，左、右焦点分别为F₁、F₂，M为双曲线C的一条渐近线上某一点，且∠OMF₂=$\frac{π}{2}，{S_{△OM{F_2}}}=8\sqrt{3}$，则双曲线C的焦距为（　　）

• A． $8\sqrt{3}$
• B． 16
• C． 8
• D． $4\sqrt{3}$

Answer 1

分析 根据双曲线的简单性质可得tan∠MOF₂=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，再根据三角形的面积公式计算即可．

解答 解：双曲线C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的渐近线方程为y=±$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$x，左、右焦点分别为F₁、F₂，M为双曲线C的一条渐近线上某一点，
∴tan∠MOF₂=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠MOF₂=$\frac{π}{6}$
∵∠OMF₂=$\frac{π}{2}$，
∴OM=csin$\frac{π}{6}$=$\frac{1}{2}$c，MF₂=ccos$\frac{π}{6}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$c，
∴${S}_{△MO{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}$OM•MF₂=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$c×$\frac{\sqrt{3}}{2}$c=8$\sqrt{3}$，
∴c=8，
∴2c=16，
故选：B

点评 本题考查了双曲线的简单性质，以及三角形的面积公式，属于基础题