Question

10．已知a=${∫}_{1}^{e}\frac{1}{x}$dx（其中e是自然对数的底数），z=$\frac{i}{a-i}$（其中i是虚数单位），则复数z的虚部为（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． -$\frac{1}{2}$i
• C． -$\frac{1}{2}$
• D． $\frac{1}{2}$i

Answer 1

分析 由${∫}_{1}^{e}\frac{1}{x}$dx=lnx${|}_{1}^{e}$=lne-ln1=1求出a的值，然后代入z=$\frac{i}{a-i}$，再利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．

解答 解：∵a=${∫}_{1}^{e}\frac{1}{x}$dx=lnx${|}_{1}^{e}$=lne-ln1=1，
∴z=$\frac{i}{a-i}$=$\frac{i}{1-i}=\frac{i（1+i）}{（1-i）（1+i）}=\frac{-1+i}{2}=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i$．
∴复数z的虚部为：$\frac{1}{2}$．
故选：A．

点评 本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．