Question

5．已知椭圆的两个焦点坐标分别是（-$\sqrt{2}$，0），（$\sqrt{2}$，0），并且经过点（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{30}}{6}$）．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）斜率为k的直线l经过点（0，-2），且与椭圆交于不同的两点A、B，当△OAB面积为$\frac{\sqrt{3}}{2}$时，求直线l的斜率k．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法求椭圆的标准方程，在求a时利用椭圆的定义比较简单；
（2）利用弦长公式先求出|AB|，然后利用面积公式构建关于斜率k的函数，由S=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，即可求得k的值．

解答 解：（1）设椭圆的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$，（a＞b＞0），
由椭圆的定义可得2a=$\sqrt{（\frac{\sqrt{2}}{2}+\sqrt{2}）^{2}+（\frac{\sqrt{30}}{6}）^{2}}$+$\sqrt{（\frac{\sqrt{2}}{2}-\sqrt{2}）^{2}+（\frac{\sqrt{30}}{6}）^{2}}$=2$\sqrt{3}$．
∴a=$\sqrt{3}$，又c=$\sqrt{2}$，
∴b=1，
故椭圆的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1$；
（2）设直线l的方程为y=kx-2，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-2}\\{\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得（1+3k²）x²-12kx+9=0，
依题意△=36k²-36＞0，
∴k²＞1（*） 
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁+x₂=$\frac{12k}{1+3{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{9}{1+3{k}^{2}}$，
∴丨AB丨=$\sqrt{1+{k}^{2}}$$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{1+{k}^{2}}$$\sqrt{（\frac{12k}{1+3{k}^{2}}）^{2}-4×\frac{9}{1+3{k}^{2}}}$=$\sqrt{1+{k}^{2}}$×$\frac{6\sqrt{{k}^{2}-1}}{1+3{k}^{2}}$，
由点到直线的距离公式得d=$\frac{2}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
∴△OAB面积S=$\frac{1}{2}$×丨AB丨×d=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{1+{k}^{2}}$×$\frac{6\sqrt{{k}^{2}-1}}{1+3{k}^{2}}$×$\frac{2}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{6\sqrt{{k}^{2}-1}}{1+3{k}^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．  
由S=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，即$\frac{6\sqrt{{k}^{2}-1}}{1+3{k}^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，整理得：9k⁴-42k²+49=0，解得k²=$\frac{7}{3}$，则k=±$\frac{\sqrt{21}}{3}$，
∴直线l的斜率k为±$\frac{\sqrt{21}}{3}$．

点评 本题考查椭圆的定义，椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式及三角形的面积公式，考查计算能力，属于中档题．