Question

2．设m是实数，函数$f（x）=m-\frac{3}{{{3^x}-1}}$．
（Ⅰ）求f（x）的定义域；
（Ⅱ）用定义证明：对于任意实数m，函数f（x）在（0，+∞）上为增函数．

Answer 1

分析 （Ⅰ）可以看出要使f（x）有意义则需x≠0，这样便得出f（x）的定义域；
（Ⅱ）根据增函数的定义，设任意的x₁＞x₂＞0，然后作差，通分，便可得到$f{（x}_{1}）-f（{x}_{2}）=\frac{3（{3}^{{x}_{1}}-{3}^{{x}_{2}}）}{（{3}^{{x}_{1}}-1）（{3}^{{x}_{2}}-1）}$，根据指数函数的单调性便可证明f（x₁）＞f（x₂），从而得出对任意实数m，函数f（x）在（0，+∞）上为增函数．

解答 解：（I）解：由3^x-1≠0得，x≠0；
∴f（x）的定义域是（-∞，0）∪（0，+∞）；
（II）证明：设x₁＞x₂＞0则：
$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=\frac{3}{{3}^{{x}_{2}}-1}-\frac{3}{{3}^{{x}_{1}}-1}$=$\frac{3（{3}^{{x}_{1}}-{3}^{{x}_{2}}）}{（{3}^{{x}_{1}}-1）（{3}^{{x}_{2}}-1）}$；
∵指数函数y=3^x在R上是增函数，且x₁＞x₂＞0；
∴${3}^{{x}_{1}}＞{3}^{{x}_{2}}＞1$；
∴${3}^{{x}_{1}}-{3}^{{x}_{2}}＞0，{3}^{{x}_{1}}-1＞0，{3}^{{x}_{2}}-1＞0$；
∴f（x₁）＞f（x₂）；
∴对于任意实数m，函数f（x）在（0，+∞）上为增函数．

点评 考查函数定义域的概念及求法，增函数的定义，以及根据增函数的定义证明一个函数为增函数的方法和过程，作差的方法比较f（x₁），f（x₂），作差后，是分式的一般要通分，以及指数函数的单调性．