Question

已知等差数列{a_n}的首项a₁=1，公差d＞0，且第2项、第5项、第14项是等比数列{b_n}的第2项、第3项、第4项
（Ⅰ）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{c_n}对任意n∈N^*，均有

cn

bn

=a_n+1-a_n成立，求c₁+c₂+c₃+…+c₂₀₁₄．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由已知条件得（1+4d）²=（1+d）（1+13d），从而得到d=2．由此求出a_n=1+（n-1）×2=2n-1.bn=b2qn-2=3n-1．
（Ⅱ）由

cn

bn

=an+1-an=2，得cn=2bn=2×3n-1，由此利用等比数列前n项和公式能求出c₁+c₂+c₃+…+c₂₀₁₄．

解答： 解：（Ⅰ）∵等差数列{a_n}的首项a₁=1，公差d＞0，
∴a₂=1+d，a₅=1+4d，a₁₄=1+13d，
∵等差数列{a_n}第2项、第5项、第14项是等比数列{b_n}的第2项、第3项、第4项，
∴（1+4d）²=（1+d）（1+13d），d＞0．
解得d=2．…（3分）
∴a_n=1+（n-1）×2=2n-1．…（4分）
又∵b2=a 2=3，a₅=b₃=9，
∴等比数列{b_n}的公比q=

b3

b2

=3，
∴bn=b2qn-2=3n-1．…（7分）
（Ⅱ）由（1）得

cn

bn

=an+1-an=2，
得cn=2bn=2×3n-1，…（9分）
∴c₁+c₂+c₃+…+c₂₀₁₄
=2+2×3+2×3²+…+2×3²⁰¹³
=2×

1-32014

1-3

=3²⁰¹⁴-1．…（12分）

点评：本题考查数列的能项公式的求法，考查数列的前n项和公式的求法，解题时要认真审题，注意等差数列和等比数列的性质的灵活运用．