Question

5．在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，$\frac{asinA+bsinB-csinC}{sinBsinC}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$a，a=2$\sqrt{3}$，若b∈[1，3]，则c的最小值为（　　）

• A． 2
• B． 3
• C． 2$\sqrt{2}$
• D． 2$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 利用正弦定理，余弦定理化简已知得3cosC=$\sqrt{3}$sinC，可求cosC=$\frac{1}{2}$，由余弦定理可得c${\;}^{2}={b}^{2}-2\sqrt{3}b+12$=（b-$\sqrt{3}$）²+9，由b∈[1，3]，即可得解c的最小值．

解答 解：由$\frac{asinA+bsinB-csinC}{sinBsinC}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$a，
可得：$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}=\frac{\sqrt{3}}{3}sinC$，
即：3cosC=$\sqrt{3}$sinC，可得：tanC=$\sqrt{3}$，
故：cosC=$\frac{1}{2}$，
所以：c${\;}^{2}={b}^{2}-2\sqrt{3}b+12$=（b-$\sqrt{3}$）²+9，
因为：b∈[1，3]，
所以：当b=$\sqrt{3}$时，c取得最小值3．

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，同角三角函数基本关系式，二次函数的图象和性质在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于中档题．