Question

5．如图，在三角形ABC中，已知AB=$\sqrt{2}$，AC=2，∠BAC=45°，E，F分别为BC，BA中点，AE，CF相交于G，则$\overrightarrow{AG}$•$\overrightarrow{CG}$的值为$-\frac{8}{9}$．

Answer 1

分析 首先由已知AB=$\sqrt{2}$，AC=2，∠BAC=45°，求出BC，得到B为直角，利用中线性质以及数量积公式得到所求．

解答 解：因为AB=$\sqrt{2}$，AC=2，∠BAC=45°，
所以BC²=AB²+AC²-2AB×ACcos45°=2，所以BC=$\sqrt{2}$，所以B=90°，
E，F分别为BC，BA中点，AE，CF相交于G，
则$\overrightarrow{AG}$•$\overrightarrow{CG}$=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$）（$\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CA}$）
=$\frac{1}{9}$（$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{CA}$）=$\frac{1}{9}$（0-2-2-4）=-$\frac{8}{9}$；
故答案为：$-\frac{8}{9}$

点评 本题考查了余弦定理的运用、三角形中线的性质以及平面向量数量积公式的运用；熟练运用数量积公式是关键．