Question

如图，已知椭圆与的中心在坐标原点，长轴均为且在轴上，短轴长分别为，，过原点且不与轴重合的直线与，的四个交点按纵坐标从大到小依次为，，，。记，和的面积分别为和。

（I）当直线与轴重合时，若，求的值；

（II）当变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线，使得？并说明理由。

 

Answer 1

【解析】（Ⅰ）依题意可设椭圆和的方程分别为

：，：. 其中，

解法1：如图1，若直线与轴重合，即直线的方程为，则

，，所以.

在C₁和C₂的方程中分别令，可得，，，

于是.

若，则，化简得. 由，可解得.

故当直线与轴重合时，若，则.              

解法2：如图1，若直线与轴重合，则

，；

，.

所以.

若，则，化简得. 由，可解得.

故当直线与轴重合时，若，则.   

（Ⅱ）解法1：如图2，若存在与坐标轴不重合的直线l，使得. 根据对称性，

不妨设直线：，

点，到直线的距离分别为，，则

因为，，所以.

又，，所以，即.

由对称性可知，所以，

，于是

.                                      ①

将的方程分别与C₁，C₂的方程联立，可求得

，.

根据对称性可知，，于是

.         ②         

从而由①和②式可得

.                              ③

令，则由，可得，于是由③可解得.

因为，所以. 于是③式关于有解，当且仅当，

等价于. 由，可解得，

即，由，解得，所以

当时，不存在与坐标轴不重合的直线l，使得；

当时，存在与坐标轴不重合的直线l使得.