已知两点F1(-1,0)及F2(1,0),点P在以F1、F2为焦点的椭圆C上,且|PF1|、|F1F2|、|PF2|构成等差数列.
(1)求椭圆C的方程;
(2)如图,动直线l:y=kx+m与椭圆C有且仅有一个公共点,点M,N是直线l上的两点,且F1M⊥l,F2N⊥l.求四边形F1MNF2面积S的最大值.
(1);(2)。
解析试题分析:(1)依题意,设椭圆的方程为.
构成等差数列,
, .
又,.
椭圆的方程为. 4分
(2) 将直线的方程代入椭圆的方程中,得. 5分
由直线与椭圆仅有一个公共点知,,
化简得:. 7分
设,, 9分
(法一)当时,设直线的倾斜角为,
则,
,
,11分
,当时,,,.
当时,四边形是矩形,. 13分
所以四边形面积的最大值为. 14分
(法二),
.
.
四边形的面积, 11分
. 13分
当且仅当时,,故.
所以四边形的面积的最大值为. 14分
考点:椭圆的标准方程;椭圆的简单性质;椭圆的定义;直线与椭圆的综合应用;基本不等式。
点评:(1)本题主要考查椭圆的方程与性质、直线方程、直线与椭圆的位置关系等基础知
识,考查学生运算能力、推理论证以及分析问题、解决问题的能力,考查分类讨论、数形结合、化归与转化思想.(2)做此题的关键是表示出四边形的面
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已知椭圆的中心为坐标原点,一个长轴端点为,短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形,若直线与轴交于点,与椭圆交于不同的两点,且。(14分)
(1)求椭圆的方程;
(2)求实数的取值范围。
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已知椭圆的短轴长等于焦距,椭圆C上的点到右焦点的最短距离为.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)过点且斜率为的直线与交于、两点,是点关于轴的对称点,证明:三点共线.
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(本小题满分12分)
如图所示,将一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛,要求点在上, 点在上,且对角线过点,已知米,米.
(1)要使矩形的面积大于32平方米,则的长应在什么范围内?
(2)当的长度为多少时,矩形花坛的面积最小?并求出最小值.
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(本小题满分14分)
设椭圆()的两个焦点是和(),且椭圆与圆有公共点.
(1)求的取值范围;
(2)若椭圆上的点到焦点的最短距离为,求椭圆的方程;
(3)对(2)中的椭圆,直线()与交于不同的两点、,若线段的垂直平分线恒过点,求实数的取值范围.
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(本小题满分12分)
如图,已知点是椭圆的右顶点,若点在椭圆上,且满足.(其中为坐标原点)
(1)求椭圆的方程;
(2)若直线与椭圆交于两点,当时,求面积的最大值.
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(本小题满分12分)
已知为坐标原点,点分别在轴轴上运动,且=8,动点满足 =,设点的轨迹为曲线,定点为直线交曲线于另外一点
(1)求曲线的方程;
(2)求 面积的最大值。
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在中,两个定点,的垂心H(三角形三条高线的交点)是AB边上高线CD的中点。
(1)求动点C的轨迹方程;
(2)斜率为2的直线交动点C的轨迹于P、Q两点,求面积的最大值(O是坐标原点)。
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