Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为正方形，PD⊥底面ABCD，PD=AD．
（1）求证：平面PAC⊥平面PBD；
（2）求PC与平面PBD所成的角．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,直线与平面所成的角

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）由线面垂直得AC⊥PD，由正方形性质得AC⊥BD，由此能证明平面PAC⊥平面PBD．
（2）记AC与BD相交于O，连结PO，由已知条件得∠CPO就是PC与平面PBD所成的角，由此能求出PC与平面PBD所成的角为30°．

解答： （1）证明：∵PD⊥底面ABCD，AC?底面ABCD，
∴AC⊥PD，
又∵底面ABCD为正方形，
∴AC⊥BD，而PD与BD交于点D，
∴AC⊥平面PBD，…（4分）
又AC?平面PAC，
∴平面PAC⊥平面PBD．…（6分）
（2）解：记AC与BD相交于O，连结PO，
由（1）知，AC⊥平面PBD，
∴PC在平面PBD内的射影是PO，
∴∠CPO就是PC与平面PBD所成的角，…（10分）
∵PD=AD，
∴在Rt△PDC中，PC=

2

CD，
而在正方形ABCD中，OC=

1

2

AC=

2

2

CD，
∴在Rt△POC中，有∠CPO=30°．
即PC与平面PBD所成的角为30°．…（14分）

点评：本题考查平面与平面垂直的证明，考查直线与平面所成角的大小的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．