Question

如图所示，已知AC⊥平面CDE，BD∥AC，△ECD为等边三角形，F为ED边上的中点，且CD=BD=2AC=2，
（1）求证：CF∥面ABE； 
（2）求证：面ABE⊥平面BDE；
（3）求该几何体ABECD的体积．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,组合几何体的面积、体积问题

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）取BE的中点G，连结FG，推导出CF∥AG，由此能证明CF∥面ABE．
（2）由△ECD为等边三角形，推导出AG⊥面BDE，由此能证明面ABE⊥平面BDE．
（3）几何体ABECD是四棱锥E-ABCD，由此能求出该几何体ABECD的体积．

解答： 解：（1）取BE的中点G，
连FG，∵FG∥

1

2

BD，AC∥

1

2

BD，
∴CF∥AG，
又CF不包含于面ABE，AG?面ABE，
∴CF∥面ABE，…（4分）
（2）∵△ECD为等边三角形，
∴CF⊥ED又CF⊥BD，
∴CF⊥面BDE，CF∥AG
∴AG⊥面BDE，
又AG?平面ABE，∴面ABE⊥平面BDE，…（8分）
（3）几何体ABECD是四棱锥E-ABCD，EH⊥CD
∴EH⊥面ABCD，
∴VE-ABCD=

1

3

•

1

2

(1+2)•2•

3

=

3

．…（12分）

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查平面与平面垂直的证明，考查几何体体积的求法，解题时要注意空间思维能力的培养．