Question

将边长为4的正方形ABCD和等腰直角三角形ABE按图拼为新的几何图形，△ABE中，AB=AE，连结DE，CE，若DE=4

2

，M为BE中点
（Ⅰ）求CM与DE所成角的大小；
（Ⅱ）若N为CE中点，证明：MN∥平面ADE；
（Ⅲ）证明：平面CAM⊥平面CBE．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）分别以AE，AB，AD所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出CM与DE所成角．
（Ⅱ）利用向量法推导出

MN

与

AD

共线，由此能证明MN∥平面ADE．
（Ⅲ）由已知条件推导出AM⊥BC，AM⊥BE，由此能证明平面CAM⊥平面CBE．

解答： （Ⅰ）解：∵AE=AD=4，DE=4

2

，
∴DA⊥AE，又DA⊥AB，AB∩AE=A
∴DA⊥面BAE，△ABE为等腰直角三角形，且AB=AE，
∴∠BAE=90°，AE，AB，AD两两垂直，
分别以AE，AB，AD所在直线为x，y，z轴，
建立空间直角坐标系如图：
则E（4，0，0），D（0，0，4），

DE

=(4，0，-4)，
M（2，2，0），C（0，4，4）
∴

CM

=(2，-2，-4)
∴cos＜

CM

，

DE

＞=

CM • DE

| CM |．| DE |

=

(2，-2，-4)•(4，0，-4)

24 .4 2

=

3

2

∴CM与DE所成角的大小为

π

6

…（4分）
（Ⅱ）解：∵E（4，0，0），C（0，4，4），N为CE中点
∴N（2，2，2），而M（2，2，0）
∴

MN

=(2，2，2)-(2，2，0)=(0，0，2)

AD

=(0，0，4)
∴

MN

与

AD

共线，MN∥AD，AD?面ADE，MN?面ADE，
∴MN∥平面ADE…（8分）
（Ⅲ）证明：DA⊥面BAE，AM?面BAE，
∴DA⊥AM，BC∥DA，
∴AM⊥BC，
又△ABE为等腰直角三角形且M为斜边BE中点，
∴AM⊥BE，BE∩BC=B，
∴AM⊥面BCE，
又AM?面CAM，
∴平面CAM⊥平面CBE．…（12分）

点评：本题考查异面直线所成角的大小的求法，考查直线与平面平行的证明，考查平面与平面垂直的证明，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．