Question

给出下列命题
①△ABC中，sinA=

5

13

，cosB=

3

5

，则cosC=-

16

65

；
②角α终边上一点P（-3a，4a），且a≠0，那么cosα=-

3

5

；
③若函数f（x）=3sin（ωx+φ）对于任意的x都有f（

π

6

+x）=-f（

π

6

-x），则f（

π

6

）=0；
④已知f（x）=sin（ωx+2）满足f（x+2）+f（x）=0，则ω=

π

2

；
其中正确的个数有（　　）

• A、1个
• B、2个
• C、3个
• D、4个

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：三角函数的图像与性质

分析：①利用三角函数间的关系式与诱导公式及两角和的余弦可判断①的正误；
②利用任意角的三角函数的定义，可判断②之正误；
③依题意知，f（x）=3sin（ωx+φ）关于（

π

6

，0）成中心对称，从而可得f（

π

6

）=0，即可判断③正确；
④利用正弦函数的周期性可得

2π

|ω|

=4，从而可得ω的值，可判断④的正误．

解答： 解：①△ABC中，cosB=

3

5

∈（

1

2

，

2

2

），故B∈（45°，60°），
sinA=

5

13

＜

1

2

，则A＜30°或A＞150°（舍去）；
∴cosA=

1-sin2A

=

12

13

，sinB=

1-cos2B

=

4

5

；
∴cosC=cos[π-（A+B）]=-cos（A+B）=sinAsinB-cosAcosB=

5

13

×

4

5

-

12

13

×

3

5

=-

16

65

，故①正确；
②角α终边上一点P（-3a，4a），且a≠0，那么cosα=

-3a

(-3a)2+(4a)2

=-

3a

5|a|

，
当a＞0时，cosα=-

3

5

，当a＜0时，cosα=

3

5

，故②错误；
③∵函数f（x）=3sin（ωx+φ）对于任意的x都有f（

π

6

+x）=-f（

π

6

-x），
∴f（x）=3sin（ωx+φ）关于（

π

6

，0）成中心对称，
∴f（

π

6

）=0，即③正确；
④∵f（x）=sin（ωx+2）满足f（x+2）+f（x）=0，
∴f[（x+2）+2]=-f（x+2）=f（x），即f（x）=sin（ωx+2）的周期为4，
∴

2π

|ω|

=4，解得ω=±

π

2

，故④错误；
综上所述，其中正确的个数有2个，
故选：B．

点评：本题考查命题的真假判断与应用，着重考查三角恒等变换及应用，考查三角函数的定义，正弦函数的对称性与周期性，属于中档题．