Question

已知首项为正数的等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若a₁₀₀₆，a₁₀₀₇是方程x²-2012x-2011=0的两根，则使S_n＞0成立的正整数n的最大值是（　　）

• A、1006
• B、1007
• C、2011
• D、2012

Answer 1

考点：等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：根据韦达定理判断出a₁₀₀₆+a₁₀₀₇=2012＞0，a₁₀₀₆a₁₀₀₇=-2011＜0，根据数列的首项为正判断出a₁₀₀₆＞0，a₁₀₀₇＜0，进而利用等差数列求和公式分别判断出S₂₀₁₂＞0，S₂₀₁₃＜0，进而可判断出使S_n＞0成立的正整数n的最大值．

解答： 解：依题意知a₁₀₀₆+a₁₀₀₇=2012＞0，a₁₀₀₆a₁₀₀₇=-2011＜0，
∵数列的首项为正数，
∴a₁₀₀₆＞0，a₁₀₀₇＜0，
∴S₂₀₁₂=

(a1+a2012)×2012

2

=

(a1006+a1007)×2012

2

＞0，
S₂₀₁₃=

(a1+a2013)×2013

2

=a₁₀₀₇×2013＜0，
∴使S_n＞0成立的正整数n的最大值是2012，
故选：D．

点评：本题主要考查了等差数列的性质．解题的关键的判断出S_n＞0，S_n+1＜0．