Question

已知点P（1+cosα，sinα），参数α∈[0，π]，点Q在曲线C：ρ=

10

2 sin(θ- π 4 )

上．
（Ⅰ）求在直角坐标系中点P的轨迹方程和曲线C的方程；
（Ⅱ）求|PQ|的最小值．

Answer 1

考点：参数方程化成普通方程

专题：坐标系和参数方程

分析：（Ⅰ）设点P的坐标为（x，y），则有

x=1+cosα y=sinα

，消去参数，结合α∈[0，π]，可得点P的轨迹．根据曲线C的极坐标方程即 ρsinθ-ρcosθ=10，可得曲线C的直角坐标方程．
（Ⅱ）由题意可得点Q在直线x-y+10=0 上，点P在半圆上，求出半圆的圆心C（1，0）到直线x-y+10=0的距离，再减去1，即得所求．

解答： 解：（Ⅰ）设点P的坐标为（x，y），则有

x=1+cosα y=sinα

，消去参数α，
可得 （x-1）²+y²=1．
由于α∈[0，π]，∴y≥0，故点P的轨迹是上半圆：（x-1）²+y²=1 （y≥0）．
∵曲线C：ρ=

10

2 sin(θ- π 4 )

，即 1=

2

ρ（

2

2

sinθ-

2

2

cosθ），
即 ρsinθ-ρcosθ=10，故曲线C的直角坐标方程：x-y+10=0．
（Ⅱ）由题意可得点Q在直线x-y+10=0 上，点P在半圆上，
半圆的圆心C（1，0）到直线x-y+10=0的距离等于

|1-0+10|

2

=

11 2

2

．
所以|PQ|的最小值为

11 2

2

-1．

点评：本题主要考查把参数方程、极坐标化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式的应用，属于基础题．