Question

已知函数f（x）=lnx-

ax2

2

+（a-1）x-

3

2a

，其中a＞0
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数f（x）有两个相异的零点x₁，x₂，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,函数零点的判定定理

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）对函数f（x）进行求导，令导函数大于0求得x的范围．
（Ⅱ）先根据导函数判断函数的单调性及函数的最大值，进而推断出函数的最大值大于0即可出现两个相异的零点，进而取得a的范围．

解答： 解：（Ⅰ）f′（x）=

1

x

-ax+a-1=-

(x-1)(a+1)

x

，
当0＜x＜1时，f′（x）＞0，
∴函数的单调增区间为（0，1）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知当0＜x＜1时，f′（x）＞0，函数单调增
当x＞1或x＜0时，f′（x）＜0，函数单调减，
x=1时，f′（x）=0，函数f（x）求得极值，
∴f（1）为函数f（x）的最大值，
∴要使函数f（x）有两个相异的零点x₁，x₂，
需f（1）＞0，
即ln1-

a

2

+a-1-

3

2a

＞0，整理得

(a-3)(a+1)

2a

＞0，
求得a＞3或-1＜a＜0．

点评：本题主要考查了导函数的综合运用．对导数公式要熟练记忆，通过导函数大于0和小于0判断函数的单调性，是导函数常用方法．