Question

如图菱形ABEF所在平面与直角梯形ABCD所在平面互相垂直，AB=2AD=2CD=4，∠ABE=60°，∠BAD=∠CDA=90°，点H是线段EF的中点．
（1）求证：平面AHC⊥平面BCE； 
（2）求此几何体的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,平面与平面垂直的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（1）由已知条件推导出AH⊥AB，AH⊥BC，AC⊥BC，从而得到BC⊥面AHC，由此能证明面AHC⊥面BCE．
（2）V=V_E-ACB+V_F-ADC+V_C-AEF．

解答： （1）证明：在菱形ABEF中，因为∠ABE=60°，所以△AEF是等边三角形，
又因为H是线段EF的中点，所以AH⊥EF⇒AH⊥AB
因为面ABEF⊥面ABCD，且面ABEF∩面ABCD=AB，
所以AH⊥面ABCD，所以AH⊥BC，
在直角梯形中，AB=2AD=2CD=4，∠BAD=∠CDA=90°，得到AC=BC=2

2

，
从而AC²+BC²=AB²，所以AC⊥BC，又AH∩AC=A
所以BC⊥面AHC，
又BC?面BCE，所以平面AHC⊥平面BCE…．（6分）
（2）解：因为V=V_E-ACB+V_F-ADC+V_C-AEF，
S△ACB=4，S△ADC=2，S△AEF=4

3

所以V=VE-ACB+VF-ADC+VF-ACE=

1

3

(2

3

×4+2

3

×2+2×4

3

)=

20 3

3

..（12分）

点评：本题考查平面与平面垂直的证明，考查几何体的体积的计算，正确运用平面与平面垂直的判定定理是关键．