Question

对大于1的自然数m的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”：2³

3 5

，3³

7 9 11

，4³

13 15 17 19

，…仿此，若m³的“分裂”数中有一个是73，则m的值为

 

．

Answer 1

考点：等差数列的通项公式,数列的函数特性

专题：等差数列与等比数列

分析：由题意可得a₃-a₂=7-3=4=2×2，a₄-a₃=13-7=6=2×3，…a_m-a_m-1=2（m-1），累加由等差数列的求和公式可得a_m，验证可得．

解答： 解：由题意可得m³的“分裂”数为m个连续奇数，
设m³的“分裂”数中第一个数为a_m，
则由题意可得a₃-a₂=7-3=4=2×2，
a₄-a₃=13-7=6=2×3，
…a_m-a_m-1=2（m-1），
以上m-2个式子相加可得a_m-a₂=

(4+2m-2)(m-2)

2

=（m+1）（m-2），
∴a_m=a₂+（m+1）（m-2）=m²-m+1，
∴当m=9时，a_m=73，即73是9³的“分裂”数中的第一个
故答案为：9

点评：本题考查等差数列的通项公式和求和公式，涉及累加法求数列的通项公式，属中档题．