Question

14．已知x为锐角，且sinx=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，
（Ⅰ）求cosx，tanx的值；
（Ⅱ）求sin2x，cos2x的值；
（Ⅲ）求$tan（2x+\frac{π}{6}）$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由x为锐角，且sinx=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，根据同角三角函数基本关系式即可求得cosx，tanx的值．
（Ⅱ）根据倍角公式即可得解．
（Ⅲ）根据同角三角函数基本关系式即可求得tan2x的值，由两角和与差的正切函数公式即可得解．

解答 解：（Ⅰ）∵x为锐角，且sinx=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，
∴cosx=$\sqrt{1-si{n}^{2}x}$=$\sqrt{1-\frac{1}{3}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，tanx=$\frac{sinx}{cosx}$=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{3}}{\frac{\sqrt{6}}{3}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．…（4分）
（Ⅱ）sin2x=2sinxcosx=2×$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$×$\frac{\sqrt{6}}{3}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，cos2x=2cos²x-1=2×$\frac{2}{3}$-1=$\frac{1}{3}$．…（8分）
（Ⅲ）∵tan2x=$\frac{sin2x}{cos2x}$=$\frac{\frac{2\sqrt{2}}{3}}{\frac{1}{3}}$=2$\sqrt{2}$，
∴$tan（2x+\frac{π}{6}）$=$\frac{tan2x+tan\frac{π}{6}}{1-tan2xtan\frac{π}{6}}$=$\frac{2\sqrt{2}+\frac{\sqrt{3}}{3}}{1-2\sqrt{2}×\frac{\sqrt{3}}{3}}$=$-\frac{{8\sqrt{3}+9\sqrt{2}}}{5}$…（16分）

点评 本题主要考查了同角三角函数基本关系的运用，两角和与差的正切函数公式的应用，属于基本知识的考查．