Question

4．已知函数f（x）=$\frac{1}{2}$mx²-2x+lnx在定义域内是增函数，则实数m的取值范围是（　　）

• A． [-1，1]
• B． [-1，+∞）
• C． [1，+∞）
• D． （-∞，1]

Answer 1

分析 函数f（x）是增函数?f′（x）=mx+$\frac{1}{x}$-2≥0?m≥$\frac{2}{x}$-$\frac{1}{{x}^{2}}$都成立，利用导数即可得出．

解答 解：∵函数f（x）=$\frac{1}{2}$mx²+lnx-2x在定义域（x＞0）内是增函数，
∴f′（x）=mx+$\frac{1}{x}$-2≥0，化为m≥$\frac{2}{x}$-$\frac{1}{{x}^{2}}$．
令g（x）=$\frac{2}{x}$-$\frac{1}{{x}^{2}}$，
g′（x）=-$\frac{1}{{x}^{2}}$+$\frac{2}{{x}^{3}}$=-$\frac{2（x-1）}{{x}^{3}}$，解g′（x）＞0，得0＜x＜1；解g′（x）＜0，得x＞1．
因此当x=1时，g（x）取得最大值，g（1）=1．
∴m≥1．
故实数m的取值范围是[1，+∞），
故选：C．

点评 正确把问题等价转化、利用导数研究函数的单调性、极值与最值是解题的关键．