Question

9．已知${a_n}={2^{n-2}}$，数列{b_n}满足b_n=（log₂a_2n+1）×（log₂a_2n+3），则$\left\{{\frac{1}{b_n}}\right\}$的前n项和为$\frac{n}{2n+1}$．

Answer 1

分析 利用对数的运算性质可得b_n，再利用“裂项求和”方法即可得出．

解答 解：∵${a_n}={2^{n-2}}$，∴a_2n+1=2^2n-1，a_2n+3=2²ⁿ⁺¹．
∴b_n=（log₂a_2n+1）×（log₂a_2n+3）=（2n-1）（2n+1），
则$\frac{1}{{b}_{n}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$$（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，
$\left\{{\frac{1}{b_n}}\right\}$的前n项和为=$\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{3}）$+$（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）]$=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2n+1}）$=$\frac{n}{2n+1}$．
故答案为：$\frac{n}{2n+1}$．

点评 本题考查了对数的运算性质、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．