Question

15．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，它的一个顶点恰好是抛物线y=$\frac{1}{4}$x²的焦点，
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A、B两点，交y轴于M点，若$\overrightarrow{MA}$=λ₁$\overrightarrow{AF}$，$\overrightarrow{MB}$=λ₂$\overrightarrow{BF}$，求证：λ₁+λ₂为定值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设出椭圆方程，由抛物线y=$\frac{1}{4}$x²的焦点坐标是（0，1）即b=1，根据离心率公式，e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，求得a²=5，求得椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）根据向量的坐标表示分别求得A和B点坐标，代入椭圆方程求得关于λ₁和λ₂的一元二次方程，根据韦达定理即可求得λ₁+λ₂=-10，即可证明λ₁+λ₂为定值．

解答 解：（I）设椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），
由抛物线y=$\frac{1}{4}$x²的焦点坐标是（0，1）
∴b=1．
又有 e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴a²=5，
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{5}+{y}^{2}=1$； …（4分）
（II）证明：设A、B、M点的坐标分别为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（0，y₀），
可知右焦点F的坐标为（2，0）．
$\overrightarrow{MA}$=λ₁$\overrightarrow{AF}$，
∴（x₁，y₁-y₀）=λ₁（2-x₁，-y₁），即x₁=$\frac{2{λ}_{1}}{1+{λ}_{1}}$，y₁=$\frac{{y}_{0}}{1+{λ}_{1}}$，…（6分）
将A点坐标代入到椭圆方程中，得$\frac{1}{5}$（$\frac{2{λ}_{1}}{1+{λ}_{1}}$）²+（$\frac{{y}_{0}}{1+{λ}_{1}}$）²=1，
去分母整理得${λ}_{1}^{2}$+10λ₁+5-5${y}_{0}^{2}$=0，…（9分）
同理$\overrightarrow{MB}$=λ₂$\overrightarrow{BF}$，可得${λ}_{2}^{2}$+10λ₂+5-5${y}_{0}^{2}$=0，
∴λ₁，λ₂，是方程${x}^{2}+10x+5-5{y}_{0}^{2}=0$的两个根，
∴λ₁+λ₂=-10．
∴λ₁+λ₂为定值．  …（12分）

点评 本题考查椭圆的标准方程，抛物线的焦点坐标，向量的坐标表示，考查一元二次方程根与系数的关系，考查计算能力，属于中档题．