Question

在平面直角坐标系中，已知椭圆.如图所示，斜率为且不过原点的直线交椭圆于，两点，线段的中点为，射线交椭圆于点，交直线于点.
（Ⅰ）求的最小值；
（Ⅱ）若?，（i）求证：直线过定点；
（ii）试问点，能否关于轴对称？若能，求出此时的外接圆方程；若不能，请说明理由.

Answer 1

(1)2      (2)

（Ⅰ）由题意:设直线,
由消y得:,设A、B,AB的中点E,则由韦达定理得: =,即,,所以中点E的坐标为E,因为O、E、D三点在同一直线上，所以，即，解得
，所以=,当且仅当时取等号,即的最小值为2.
（Ⅱ）（i）证明:由题意知:n>0,因为直线OD的方程为,所以由得交点G的纵坐标为,又因为,,且?，所以,又由（Ⅰ）知: ,所以解得,所以直线的方程为,即有,令得,y=0,与实数k无关,所以直线过定点(-1,0).
（ii）假设点，关于轴对称,则有的外接圆的圆心在x轴上,又在线段AB的中垂线上,
由（i）知点G(,所以点B(,又因为直线过定点(-1,0),所以直线的斜率为，又因为，所以解得或6，又因为,所以舍去,即，此时k=1，m=1，E，AB的中垂线为2x+2y+1=0，圆心坐标为，G(,圆半径为，圆的方程为.综上所述, 点，关于轴对称,此时的外接圆的方程为.