Question

2．当x∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]时，求函数y=1-sinx+2sin²x的最大值和最小值．

Answer 1

分析 由题意可得t=sinx∈[-$\frac{1}{2}$，1]，换元可得y=2（t-$\frac{1}{4}$）²+$\frac{7}{8}$，由二次函数区间的最值可得．

解答 解：当x∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]时，t=sinx∈[-$\frac{1}{2}$，1]，
换元可得y=1-sinx+2sin²x=1-t+2t²=2（t-$\frac{1}{4}$）²+$\frac{7}{8}$，
由二次函数可知当t=-$\frac{1}{2}$或t=1时，函数取最大值2；
当t=$\frac{1}{4}$时，函数取最小值$\frac{7}{8}$．

点评 本题考查三角函数的最值，换元并利用二次函数区间的最值是解决问题的关键，属基础题．