Question

7．在数列{a_n}中，$\frac{1}{{a}_{n}}$+$\frac{1}{{a}_{n+2}}$=$\frac{2}{{a}_{n+1}}$，且$\frac{1}{{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{10}}$+$\frac{1}{{a}_{6}}$=12，则$\frac{1}{{a}_{8}}$+$\frac{1}{{a}_{4}}$=（　　）

• A． 12
• B． 24
• C． 8
• D． 16

Answer 1

分析 由已知数列递推式可得a₆的值，再由等差数列的性质求得$\frac{1}{{a}_{8}}$+$\frac{1}{{a}_{4}}$的值．

解答 解：由$\frac{1}{{a}_{n}}$+$\frac{1}{{a}_{n+2}}$=$\frac{2}{{a}_{n+1}}$，可得$\frac{1}{{a}_{n+2}}-\frac{1}{{a}_{n+1}}=\frac{1}{{a}_{n+1}}-\frac{1}{{a}_{n}}$，
即数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是等差数列，
又$\frac{1}{{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{10}}$+$\frac{1}{{a}_{6}}$=12，
∴$\frac{2}{{a}_{6}}+\frac{1}{{a}_{6}}=12$，即$\frac{3}{{a}_{6}}=12$，则${a}_{6}=\frac{1}{4}$，
∴$\frac{1}{{a}_{8}}$+$\frac{1}{{a}_{4}}$=$\frac{2}{{a}_{6}}=\frac{2}{\frac{1}{4}}=8$．
故选：C．

点评 本题考查数列递推式，考查了等差关系的确定，考查了等差数列的性质，是中档题．