Question

已知函数f（x）=sin²ωx+

3

sinωxsin（ωx+

π

2

），（ω＞0）的最小正周期为π，则f（x）在区间[0，

2π

3

]上的值域为（　　）

• A、[0，

  3

  2

  ]
• B、[-

  1

  2

  ，

  3

  2

  ]
• C、[-

  1

  2

  ，1]
• D、[-

  3

  2

  ，

  1

  2

  ]

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用

专题：三角函数的图像与性质

分析：化简可得f（x）=sin（2ωx-

π

6

）+

1

2

，由周期公式可得ω=1，可得f（x）=sin（2x-

π

6

）+

1

2

，由x的范围，可得所求．

解答： 解：化简可得f（x）=sin²ωx+

π

2

）+

3

sinωxsin（ωx
=

1-cos2ωx

2

+

3

sinωxcosωx=

1

2

+

3

2

sin2ωx-

1

2

cos2ωx
=sin（2ωx-

π

6

）+

1

2

，
∵函数的最小正周期为π，
∴

2π

2ω

=π，解得ω=1，
∴f（x）=sin（2x-

π

6

）+

1

2

，
∵x∈[0，

2π

3

]，
∴2x-

π

6

∈[-

π

6

，

7π

6

]，
∴sin（2x-

π

6

）∈[-

1

2

，1]，
∴f（x）=sin（2x-

π

6

）+

1

2

的值域为[0，

3

2

]
故选：A

点评：本题考查三角函数恒等变换，涉及三角函数的周期性和最值，属中档题．