Question

12．若三角形三边长都是整数且至少有一个内角为$\frac{π}{3}$，则称该三角形为“完美三角形”．有关“完美三角形”有以下命题：
（1）存在直角三角形是“完美三角形；
（2）不存在面积是整数的“完美三角形”；
（3）周长为12的“完美三角”中面积最大为4$\sqrt{3}$；
（4）若两个“完美三角形”有两边对应相等，且面积相等，则这两个“完美三角形“全等．
以上真命题有（3）（4）．（写出所有真命题的序号．）

Answer 1

分析 （1）在Rt△ABC中，C=90°，A=60°，可得三边之比为：1：$\sqrt{3}$：2，即可判断出真假．
（2）由S=$\frac{1}{2}$absin$\frac{π}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$ab，若面积是整数，则存在正整数x，使得$\sqrt{3}$ab=4x，此式不成立，即可判断出真假．
（3）设C=$\frac{π}{3}$，可得a+b+c=12，c²=a²+b²-2ab$cos\frac{π}{3}$，化为$（\sqrt{ab}）^{2}$-16$\sqrt{ab}$+48≥0，解出即可判断出真假．
（4）设C=$\frac{π}{3}$=C₁，对边分类讨论：①若夹角$\frac{π}{3}$的两条边分别相等，可得此两个三角形全等；②若夹角$\frac{π}{3}$其中一条边相等，由于面积相等，夹角$\frac{π}{3}$另一条边必然相等，此两个三角形全等．

解答 解：（1）若Rt△ABC中，C=90°，A=60°，则三边之比为：1：$\sqrt{3}$：2，因此不存在直角三角形是“完美三角形，因此（1）是假命题；
（2）由S=$\frac{1}{2}$absin$\frac{π}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$ab，若面积是整数，则存在正整数x，使得$\sqrt{3}$ab=4x，由于a，b都为整数，此式不成立，因此不存在面积都是整数的“完美三角形”，（2）是真命题；
（3）设C=$\frac{π}{3}$，则a+b+c=12，c²=a²+b²-2ab$cos\frac{π}{3}$，可得（12-a-b）²=a²+b²-ab，
化为$（\sqrt{ab}）^{2}$-16$\sqrt{ab}$+48≥0，解得0＜$\sqrt{ab}$≤4，即ab≤16，当且仅当a=b=4时取等号，
可得周长为12的“完美三角”中面积最大为$\frac{1}{2}×16×\frac{\sqrt{3}}{2}$=4$\sqrt{3}$，是真命题；
（4）设C=$\frac{π}{3}$=C₁，①若夹角$\frac{π}{3}$的两条边分别相等，满足条件，则此两个三角形全等；
②若夹角$\frac{π}{3}$其中一条边相等，由于面积相等，夹角$\frac{π}{3}$另一条边必然相等，可得：此两个三角形全等．因此是真命题．
以上真命题有（2）（3）（4）．
故答案为：（2）（3）（4）．

点评 本题考查了解三角形、余弦定理、三角形面积计算公式、基本不等式的性质、新定义、简易逻辑的判定方法、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．