Question

6．由不等式组$\left\{{\begin{array}{l}{0≤x≤3}\\{0≤y≤3}\end{array}}\right.$确定的平面区域为A，曲线xy=1和直线y=x以及直线x=3围成的封闭区域为B，在A中随机取一点，则该点恰好在B内的概率为$\frac{4-ln3}{9}$．

Answer 1

分析 根据题意画出图形，结合图形求出平面区域A、B的面积，根据几何概型的概率公式求出对应的概率．

解答 解：如图所示，
由不等式组$\left\{{\begin{array}{l}{0≤x≤3}\\{0≤y≤3}\end{array}}\right.$确定的平面区域A的面积为S=3×3=9，
曲线xy=1和直线y=x以及直线x=3围成的封闭区域B的面积为
S′=$\frac{1}{2}$×3×3-$\frac{1}{2}$×1×1-∫₁³$\frac{1}{x}$dx=4-ln3；
根据几何概型的概率公式知，
该点落在区域B内的概率为P=$\frac{4-ln3}{9}$．
故答案为：$\frac{4-ln3}{9}$．

点评 本题主要考查了利用定积分表示曲边三角形的面积，以及几何概型的概率公式，属于综合性题目．