Question

15．在如图所示的四边形ABCD中，∠BAD=90°，∠BCD=120°，∠BAC=60°，AC=2，记∠ABC=θ．
（Ⅰ）求用含θ的代数式表示DC；
（Ⅱ）求△BCD面积S的最小值．

Answer 1

分析 （I）在△ADC中，使用正弦定理解出DC；
（II）在△ABC中，使用正弦定理解出BC，代入三角形的面积公式计算．

解答 解：（Ⅰ）在△ADC中，∠ADC=360°-90°-120°-θ=150°-θ，
由正弦定理可得$\frac{DC}{sin∠DAC}$=$\frac{AC}{sin∠ADC}$，即$\frac{DC}{sin30°}$=$\frac{2}{sin（150°-θ）}$，
于是：DC=$\frac{1}{sin（150°-θ）}$．
（Ⅱ）在△ABC中，由正弦定理得$\frac{AC}{sinθ}$=$\frac{BC}{sin60°}$，即BC=$\frac{\sqrt{3}}{sinθ}$，
由（Ⅰ）知：DC=$\frac{1}{sin（150°-θ）}$，
∴S=$\frac{1}{2}BC×CD×sin120°$=$\frac{3}{4sinθ•sin（150°-θ）}$=$\frac{3}{2sinθcosθ+2\sqrt{3}sin^2θ}$=$\frac{3}{\sqrt{3}+2sin（2θ-60°）}$．
故θ=75°时，S取得最小值6-3$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了正弦定理在解三角形中的应用，属于中档题．