Question

9．函数f（x）=Asin（ωx+$\frac{ωπ}{2}$）（A＞0，ω＞0）在区间[-$\frac{3π}{4}$，-$\frac{π}{6}$]上单调递增，则ω的最大值是$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 求出f（x）的单调增区间，根据集合关系列出不等式解出ω．

解答 解：令-$\frac{π}{2}+2kπ≤$$ωx+\frac{ωπ}{2}$≤$\frac{π}{2}+2kπ$，解得$-\frac{π}{2}$-$\frac{π}{2ω}$+$\frac{2kπ}{ω}$≤x≤-$\frac{π}{2}$+$\frac{π}{2ω}$+$\frac{2kπ}{ω}$．
∵f（x）在区间[-$\frac{3π}{4}$，-$\frac{π}{6}$]上单调递增，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{π}{2}-\frac{π}{2ω}+\frac{2kπ}{ω}≤-\frac{3π}{4}}\\{-\frac{π}{2}+\frac{π}{2ω}+\frac{2kπ}{ω}≥-\frac{π}{6}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{ω≤2-8k}\\{ω≤\frac{3}{2}+6k}\end{array}\right.$，
∴当2-8k≤$\frac{3}{2}+6k$即k≥$\frac{1}{28}$时，ω≤2-8k，
∴当k=1时，ω取得最大值-6．
当2-8k＞$\frac{3}{2}+6k$即k＜$\frac{1}{28}$时，ω≤$\frac{3}{2}+6k$，
∴当k=0时，ω取得最大值$\frac{3}{2}$．
综上，ω的最大值为$\frac{3}{2}$．
故答案为：$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查了正弦函数的单调性，集合的包含关系，属于中档题．