Question

14．正项等比数列{a_n}中，a₁=sinθ，a₂=cosθ，a₃=tanθ，则1+cosθ是此等比数列的第8项．

Answer 1

分析 正项等比数列{a_n}中，a₁=sinθ，a₂=cosθ，a₃=tanθ，可得${a}_{2}^{2}$=a₁a₃，公比q=$\frac{cosθ}{sinθ}$=$\frac{1}{tanθ}$．化为：cosθ=tan²θ．可得a₄=1，以此类推即可得出．

解答 解：∵正项等比数列{a_n}中，a₁=sinθ，a₂=cosθ，a₃=tanθ，
∴${a}_{2}^{2}$=a₁a₃，公比q=$\frac{cosθ}{sinθ}$=$\frac{1}{tanθ}$．
∴cos²θ=sinθ•tanθ，
化为：cosθ=tan²θ．
∴a₄=$tanθ×\frac{cosθ}{sinθ}$=1，
a₅=$\frac{cosθ}{sinθ}$=$\frac{1}{tanθ}$，
a₆=$\frac{co{s}^{2}θ}{si{n}^{2}θ}$=$\frac{1}{ta{n}^{2}θ}$，
a₇=$\frac{1}{ta{n}^{3}θ}$，
a₈=$\frac{1}{ta{n}^{4}θ}$=$\frac{1}{co{s}^{2}θ}$=1+tan²θ=1+cosθ，
因此1+cosθ是此等比数列的第8项．
故答案为：8．

点评 本题考查了等比数列的通项公式、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．