Question

3．设（1-2x）⁵=a₀+a₁x+a₂x²+a₃x³+a₄x⁴+a₅x⁵．
求：（1）a₁+a₂+a₃+a₄+a₅的值；
（2）a₁+a₃+a₅的值；
（3）|a₁|+|a₂|+|a₃|+|a₄|+|a₅|的值．

Answer 1

分析 （1）根据题意，由x=0求出a₀的值，x=1求出a₀+a₁+a₂+a₃+a₄+a₅的值，即可求出a₁+a₂+a₃+a₄+a₅的值；
（2）由x=1求出a₀+a₁+a₂+a₃+a₄+a₅的值，由x=-1求出a₀-a₁+a₂-a₃+a₄-a₅的值，两式相减即可求出a₁+a₃+a₅的值；
（3）根据展开式的通项公式知，结合展开式的各项系数，即可求出|a₁|+|a₂|+|a₃|+|a₄|+|a₅|的值．

解答 解：（1）由（1-2x）⁵=a₀+a₁x+a₂x²+a₃x³+a₄x⁴+a₅x⁵，
令x=0，得1⁵=a₀，则a₀=1；
令x=1，得（1-2）⁵=-1=a₀+a₁+a₂+a₃+a₄+a₅，
则a₀+a₁+a₂+a₃+a₄+a₅=-1，
所以a₁+a₂+a₃+a₄+a₅=（a₀+a₁+a₂+a₃+a₄+a₅）-a₀=-1-1=-2；
（2）令x=1，得（1-2）⁵=-1=a₀+a₁+a₂+a₃+a₄+a₅①，
令x=-1，得（1+2）⁵=3⁵=a₀-a₁+a₂-a₃+a₄-a₅②，
①-②得，2（a₁+a₃+a₅）=-1-3⁵=-244，
所以a₁+a₃+a₅=122；
（3）根据展开式的通项公式知 a₁，a₃，a₅为负，a₂，a₄为正；
令f（x）=（1-2x）⁵，
所以|a₁|+|a₂|+|a₃|+|a₄|+|a₅|=-a₁+a₂-a₃+a₄-a₅=f（-1）-a₀ =3⁵-1=242．

点评 本题考查二项式定理的运用，是给变量赋值的问题，关键是根据要求的结果，选择合适的数值代入