Question

17．在正三棱锥V-ABC中，底面边长为3，三棱锥的高是3，D是VC的中点，则异面直线BD和VA所成角的余弦值是（　　）

• A． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{2}}{4}$
• C． $\frac{\sqrt{10}}{8}$
• D． $\frac{\sqrt{10}}{5}$

Answer 1

分析 建立空间坐标系，代入点的坐标，求出$\overrightarrow{BD}，\overrightarrow{VA}$的夹角即可．

解答 解：设底面ABC的中心为O，以O为坐标原点建立如图所示的空间坐标系O-xyz，
∵棱锥的底面边长为3，高为3，
∴A（0，-$\sqrt{3}$，0），B（$\frac{3}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0），C（-$\frac{3}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0），V（0，0，3）．
∴D（-$\frac{3}{4}$，$\frac{\sqrt{3}}{4}$，$\frac{3}{2}$）．
∴$\overrightarrow{BD}$=（-$\frac{9}{4}$，-$\frac{\sqrt{3}}{4}$，$\frac{3}{2}$），$\overrightarrow{VA}$=（0，-$\sqrt{3}$，-3）．
∴|$\overrightarrow{BD}$|=$\frac{\sqrt{30}}{2}$，|$\overrightarrow{VA}$|=2$\sqrt{3}$.$\overrightarrow{BD}•\overrightarrow{VA}$=-$\frac{15}{4}$．
∴cos＜$\overrightarrow{BD}$，$\overrightarrow{VA}$＞=$\frac{\overrightarrow{BD}•\overrightarrow{VA}}{|\overrightarrow{BD}||\overrightarrow{VA}|}$=-$\frac{\sqrt{10}}{8}$．
∴异面直线BD和VA所成角的余弦值是$\frac{\sqrt{10}}{8}$．
故选：C．

点评 本题考查了空间角的计算，向量法是常用的解决空间角的方法之一．