Question

7．已知函数f（x）=|x-a|（a∈R），且不等式f（x）≤2的解集为{x|0≤x≤4}．
（1）求实数a的值；
（2）若存在-2≤x≤4，使f（x-1）-f（x+1）≤m成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）依题意，|x-a|≤2的解集为{x|0≤x≤4}，可解得a；
（2）设g（x）=f（x-1）-f（x+1），可求得g（x）的表达式，求得g（x）的取值范围即可．

解答 解：（1）由题意得f（x）≤2?a-2≤x≤a+2，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-2=0}\\{a+2=4}\end{array}\right.$，解得：a=2；
（2）令g（x）=f（x-1）-f（x+1），-2≤x≤4，
则g（x）=|x-3|-|x-1|≥-|（x-3）-（x-1）|=-2，
∴g（x）_min=-2，而g（4）=-2，
∴m≥-2时，存在-2≤x≤4符合题意．

点评 本题考查绝对值不等式的解法，理解“存在-2≤x≤4，使f（x-1）-f（x+1）≤m成立”中的“存在”的含义是关键，也是难点，是易错点，需求得g（x）_min，而非g（x）_max．