Question

2．记定义在区间[a，b]上的连续函数y=f（x），如果存在x₀∈[a，b]，使得f（x₀）=$\frac{{∫}_{a}^{b}f（x）dx}{b-a}$成立，则称x₀为函数f（x）在[a，b]上的“平均值点”，那么函数f（x）=x³+2x在[-1，1]上“平均值点”的个数为（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 由新定义计算定积分可将问题转化为g（x）=x³+2x-$\frac{5}{4}$在x∈[-1，1]上的零点个数，由零点判定定理和函数单调性可得．

解答 解：由题意可得${∫}_{-1}^{1}$（x³+2x）dx=（$\frac{1}{4}$x⁴+x²）${|}_{-1}^{1}$=0，
∴函数f（x）=x³+2x在[-1，1]上“平均值点”的个数为方程x³+2x=0在[-1，1]上根的个数，
构造函数g（x）=x³+2x，则问题转化为g（x）在x∈[-1，1]上的零点个数，
求导数可得g′（x）=3x²+2＞0，故函数g（x）在x∈[-1，1]上单调递增，
由g（-1）g（1）＜0，故函数g（x）在x∈[-1，1]上有唯一一个零点．
故选：A．

点评 本题考查定积分的运算，涉及转化和数形结合的思想，属中档题．