Question

14．已知函数f（x）=a^x（a＞0，a≠1）在区间[-1，2]上的最大值为8，最小值为m．若函数g（x）=（3-10m）$\sqrt{x}$是单调增函数，则a=$\frac{1}{8}$．

Answer 1

分析 根据题意求出m的取值范围，再讨论a的值，求出f（x）的单调性，从而求出a的值．

解答 解：根据题意，得3-10m＞0，
解得m＜$\frac{3}{10}$；
当a＞1时，函数f（x）=a^x在区间[-1，2]上单调递增，最大值为a²=8，解得a=2$\sqrt{2}$，
最小值为m=a^-1=$\frac{1}{2\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$＞$\frac{3}{10}$，不合题意，舍去；
当1＞a＞0时，函数f（x）=a^x在区间[-1，2]上单调递减，最大值为a^-1=8，解得a=$\frac{1}{8}$，
最小值为m=a²=$\frac{1}{64}$＜$\frac{3}{10}$，满足题意；
综上，a=$\frac{1}{8}$．
故答案为：$\frac{1}{8}$．

点评 本题主要考查指数函数的图象与性质的应用问题，通过讨论对数函数的底数确定函数的单调性是解决本题的关键．