Question

5．某单位共有10名员工，他们某年的收入如表：

员工编号	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
年薪（万元）	3	3.5	4	5	5.5	6.5	7	7.5	8	50

（1）求该单位员工当年年薪的平均值和中位数；
（2）从该单位中任取2人，此2人中年薪收入高于5万的人数记为ξ，求ξ的分布列和期望；
（3）已知员工年薪收入与工作年限成正线性相关关系，若某员工工作第一年至第四年的年薪分别为3万元、4.2万元、5.6万元、7.2万元，预测该员工第五年的年薪为多少？
附：线性回归方程$\hat y=\hat bx+\hat a$中系数计算公式：$\hat b=\frac{{\sum_{i=1}^n{（\;{x_i}-\overline x\;）（\;{y_i}-\overline y\;）}}}{{{{（\;{x_i}-\overline x\;）}^2}}}$，$\hat a=\overline y-\hat b\;\overline x$，其中$\overline x$、$\overline y$表示样本均值．

Answer 1

分析 （1）根据表格数据计算；
（2）适用组合数公式计算P（ξ）；
（3）求出线性回归方程，根据回归方程预测．

解答 解：（1）平均值为10万元，中位数为6万元．
（2）年薪高于5万的有6人，低于或等于5万的有4人；ξ的取值为0，1，2．P（ξ=0）$\frac{{C}_{4}^{2}}{{C}_{10}^{2}}$=$\frac{2}{15}$，$P（ξ=1）=\frac{C_4^1C_6^1}{{C_{10}^2}}=\frac{8}{15}$，$P（ξ=2）=\frac{C_6^2}{{C_{10}^2}}=\frac{1}{3}$，
所以ξ的分布列为

ξ	0	1	2
P	$\frac{2}{15}$	$\frac{8}{15}$	$\frac{1}{3}$

数学期望为$Eξ=0×\frac{2}{15}+1×\frac{8}{15}+2×\frac{1}{3}=\frac{6}{5}$．
（3）设x_i，y_i（i=1，2，3，4）分别表示工作年限及相应年薪，则$\overline{x}=2.5，\overline{y}=5$，
$\sum_{i=1}^{4}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}$=2.25+0.25+0.25+2.25=5，$\sum_{i=1}^4{（{x_i}-\overline x）（{y_i}-\bar y）}=-1.5×（-2）+（-0.5）×（-0.8）+0.5×0.6+1.5×2.2=7$，
∴$\hat b=\frac{{\sum_{i=1}^n{（\;{x_i}-\overline x\;）（\;{y_i}-\overline y\;）}}}{{{{（\;{x_i}-\overline x\;）}^2}}}$=1.4，$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-$\stackrel{∧}{b}$$\overline{x}$=5-1.4×2.5=1.5．
∴员工年薪与工作年限的线性回归方程为$\stackrel{∧}{y}$=1.4x+1.5．
当x=5时，$\stackrel{∧}{y}$=1.4×5+1.5=8.5．
该员工第5年的年薪收入约为8.5万元．

点评 本题考查了古典概型的概率计算，线性回归方程的解法及应用，属于中档题．