Question

8．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{（\frac{1}{2}）}^{x}，x≤1}\\{{-x}^{2}+4x-\frac{5}{2}，x＞1}\end{array}\right.$ 函数g（x）=$\frac{3}{2}$x-a，其中a∈R，若函数y=f（x）-g（x）恰有3个零点，则a的取值范围是（　　）

• A． （0，$\frac{15}{16}$）
• B． （$\frac{15}{16}$，1）
• C． （1，$\frac{16}{15}$）
• D． （1，$\frac{5}{4}$）

Answer 1

分析 利用函数与方程之间的关系转化为两个函数的交点问题，利用数形结合是解决本题的关键．

解答 解：由y=f（x）-g（x）=0得f（x）=g（x），
若函数y=f（x）-g（x）恰有3个零点，
则等价为函数f（x）与g（x）有三个交点，
作出函数f（x）和g（x）的图象如图：
由图象知当直线经过点A（1，$\frac{1}{2}$）时，两个函数有两个交点，此时$\frac{3}{2}$-a=$\frac{1}{2}$，即a=1，
当直线g（x）=$\frac{3}{2}$x-a，与f（x）=-x²+4x-$\frac{5}{2}$相切时，有两个交点，
此时-x²+4x-$\frac{5}{2}$=$\frac{3}{2}$x-a，
即x²-$\frac{5}{2}$x+$\frac{5}{2}$-a=0，即2x²-5x+（5-2a）=0，
由判别式△=25-4×2（5-2a）=0
得16a=15，即a=$\frac{15}{16}$，
则要使两个函数有三个交点，
则$\frac{15}{16}$＜a＜1，
故选：B．

点评 本题主要考查方程根的个数的应用，利用函数与方程之间的关系转化为两个函数的交点个数问题，利用数形结合是解决本题的关键．