Question

17．已知函数f（x）=（$\sqrt{3}$sinx+cosx）（$\sqrt{3}$cosx-sinx）．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）的单调递增区间．

Answer 1

分析 将函数进行化简，结合三角函数的图象和性质即可解决本题问题．

解答 解：（1）由f（x）=（$\sqrt{3}$sinx+cosx）（$\sqrt{3}$cosx-sinx）．
?$f（x）=3sinxcosx-\sqrt{3}{sin^2}x+\sqrt{3}{cos^2}x-cosxsinx$
?f（x）=$2sinxcosx+\sqrt{3}（{cos^2}x-{sin^2}x）$
?f（x）=$sin2x+\sqrt{3}cos2x=2sin（2x+\frac{π}{3}）$．
因此f（x）的最小正周期$T=\frac{2π}{2}=π$．
（2）由正弦函数的图象和性质即可知：$2x+\frac{π}{3}$∈[$2kπ-\frac{π}{2}$，$2kπ+\frac{π}{2}$]单调递增区间．
即$2kπ-\frac{π}{2}≤2x+\frac{π}{3}≤2kπ+\frac{π}{2}$，
解得：$kπ-\frac{5π}{12}≤x≤kπ+\frac{π}{12}$（k∈Z）
因此f（x）的单调递增区间为$[kπ-\frac{5π}{12}，kπ+\frac{π}{12}]（k∈Z）$．

点评 本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．属于基础题．