Question

如图：两点分别在射线上移动，
且,为坐标原点，动点满足

（1）求点的轨迹的方程;
（2）设，过作（1）中曲线的两条切线，切点分别
为，①求证:直线过定点;
②若,求的值。

Answer 1

（1）；（2）②.

解析试题分析：（1） 设动点的坐标为，由
另由
于是由此可消去上参数方程中的参数而得点的轨迹方程.
（2）①设，先用导数求出双曲线在处的切线，利用两切线均过点得到直线的方程并进一步证明其过定点.
②由①可知，设直线的方程为，易知且，
所以可利用方程组消去得，再结合韦达定理解决.
解：（1）由已知得，，即
设坐标为，由得：
∴，消去可得，
∴轨迹的方程为：                          4分
（2）①由（1）知，即
设，则，
∴，即，
∵在直线上，∴  ⑴同理可得，     ⑵
由⑴⑵可知， ∴直线过定点                9分
②由①可知，设直线的方程为，易知且，将直线的方程代入曲线C的方程得：
∴
又
 即   ∴                      13分
考点：1、动点轨迹方程的求法；2、平面向量的数量积；3、直线与圆锥曲线的综合问题.