Question

【题目】已知函数．

(I)当时，求过点(0，1)且和曲线相切的直线方程；

(2)若函数在上有两个不同的零点，求实致的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）或（2）

【解析】

（1）讨论点是否是切点，是切点时，求出在该点的导函数就是切线的斜率，再运用直线的点斜式得切线方程；

不是切点时，设切点坐标，建立方程求出切点坐标，再求出切线方程；

（2）方法一：将整理成令，对求导，讨论其零点的个数，就是函数的零点的个数，注意当最小值小于零时，需对取得最小值的点的左右两侧的函数判断是否有零点的存在，可求出特殊点的函数值判断其正负，根据零点存在定理判断零点的存在；

方法二：由可得对a实行参变分离方法，构造新函数，对其求导研究此函数的单调性和最值，要使函数在上有两个不同的零点，即直线与函数的图象在上有两个不同的交点，可得解.

（1）当时，，

当点为切点时，所求直线的斜率为，则过点且和曲线相切的直线方程为

当点不是切点时，设切点坐标为，

则所求直线的斜率为，所以，①易知②

由①②可得

即

设则

所以当时，当时，,

所以在上单调递增，在上单调递减，

又

所以有唯一的零点，

因为，所以方程的根为，即切点坐标为，

故所求切线的斜率为，则过点且和曲线相切的直线方程为.

综上，所求直线的方程为或.

（2）解法一:令，

因为，所以函数的零点就是函数的零点，

当时，没有零点，所以没有零点.

当时，，当时，当时，

所以在上单调递减，在上单调递增，

故是函数在上的最小值.

当即在上没有零点，即在上没有零点；

当即在上只有一个零点，即即在上只有一个零点；

当即，即在上有一个零点，所以在上有一个零点；

对任意的，都有，即，所以，即，令，则，所以

故在上有一个零点，

因此在上有两个不同的零点，即在上有两个不同的零点.

综上，若函数在上有两个不同的零点，则实数的取值范围是.

解法二：由可得

令，

则函数在上有两个不同的零点，即直线与函数的图象在上有两个不同的交点，令得

当时，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，

所以在上的最大值为

因为，并且当时，

所以当时，在上的图象与直线有两个不同的交点，

即当时，函数在上有两个不同的零点.

所以，若函数在上有两个不同的零点，则实数a的取值范围是.