Question

已知函数f（x）=x²+2bx的图象在点O（0，0）处的切线l与直线x-y+3=0平行，若数列{

1

f(n)

}的前n项和为S_n，则S₂₀₁₄=（　　）

• A、

  2012

  2013

• B、

  2013

  2014

• C、

  2014

  2015

• D、

  2015

  2016

Answer 1

考点：数列的求和,二次函数的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：对函数求导，根据导数的几何意义可求切线在x=0处的斜率，然后根据直线平行时斜率相等的条件可求b，代入可求f（n），利用裂项求和即可求．

解答： 解：∵f（x）=x²+2bx，
∴f′（x）=2x+2b，
∵函数f（x）=x²+2bx的图象在点A（0，f（0））处的切线L与直线x-y+3=0平行，
∴f′（0）=2b=1，解得b=

1

2

，
∴f（x）=x²+x，
∴

1

f(n)

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴数列{

1

f(n)

}的前n项和为S_n=（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）=1-

1

n+1

=

n

n+1

．
∴S₂₀₁₄=

2014

2015

．
故选：C．

点评：本题以函数的导数的几何意义为载体，主要考查了切线斜率的求解，两直线平行时的斜率关系的应用，及裂项求和方法的应用．