Question

设点M（x₀，y₀）在直线2x+y-2=0上运动，若在圆：x²+y²=1上存在点N，使得∠OMN=30°，则x₀的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：直线与圆相交的性质

专题：计算题,直线与圆

分析：根据圆的切线的性质，可知当过M点作圆的切线，切线与OM所成角是圆上的点与OM所成角的最大值，所以只需此角大于等于30°即可，此时半径，切线与OM构成直角三角形，因为切线与OM所成角大于等于30°所以OM小于等于半径的2倍，再用含x₀的式子表示OM，即可求出x₀的取值范围．

解答： 解：过M作⊙C切线交⊙C于R，
根据圆的切线性质，有∠OMR≥∠OMR=30°．
反过来，如果∠OMR≥30°，
则⊙C上存在一点N使得∠OMN=30°．
∴若圆C上存在点N，使∠OMN=30°，则∠OMR≥30°．
∵|OR|=1，
∴|OM|＞2时不成立，
∴|OM|≤2．
又∵|OM|²=x₀²+y₀²=x₀²+（2-2x₀）²=5x₀²-8x₀+4
∴5x₀²-8x₀+4≤4，
解得，0≤x₀≤

8

5

．
∴x₀的取值范围是[0，

8

5

]
故答案为：[0，

8

5

]．

点评：本题主要考查了直线与圆相切时切线的性质，以及一元二次不等式的解法，综合考察了学生的转化能力，计算能力，属于中档题．