Question

【题目】已知等差数列的前项和为，且，.

（1）求数列的前项和；

（2）是否存在正整数，，使得，，成等比数列？若存在，求出所有的，；若不存在，说明理由；

（3）设，若对一切正整数，不等式恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）不存在；（3）.

【解析】

（1）设等差数列的公差为，由题意得，，联立解得，即可求出数列的通项公式，进而求得

（2）结合求出，，，利用等比数列的性质得到，通过相应的转换得到，均为偶数，设，，将等式转化为，通过放缩可得与上式矛盾，所以不存在正整数，使，，成等比数列。

（3）分为偶数和为奇数两种情况讨论，当为偶数时，可设；当为奇数时，设，，再对进行化简求值，分离参数，通过恒成立问题进一步确定取值范围。

（1）设等差数列的公差为，

由题意知，①

，②，联立①②得，

所以数列的通项公式为，，即

（2），，，，

当，，成等比数列时，有，

即，

，，，

，

、均为正整数，为整数，为整数，

则，

一定为偶数，整理得，则一定为偶数，

设，，、均为正整数，，

则转化为，

，令，则且为整数，

则，，则，

（放缩可得），与上式矛盾，

所以不存在正整数、使，，成等比数列。

（3）由（1）得，

当为偶数时，设，

则，

，

则不等式等价于对一切正整数恒成立，

即，设，，则，单调递增，，

当为奇数时，设，，

代入不等式，得，即，

又，的最大值为-4，

综上所述，的取值范围为