Question

设M是把坐标平面上的点的横坐标伸长到2倍，纵坐标伸长到3倍的伸压变换．
(1)求矩阵M的特征值及相应的特征向量；
(2)求逆矩阵M^－1以及椭圆＝1在M^－1的作用下的新曲线的方程．

Answer 1

（1）（2）x²＋y²＝1.

由题意M＝，
(1)由|M－λE|＝0得，λ₁＝2，λ₂＝3，当λ₁＝2，
∴y＝0，取x＝1；当λ₂＝3，
∴x＝0，取y＝1.
所以，特征值为2和3，特征值2对应的特征向量，特征值3对应的特征向量.
(2)由逆矩阵公式得：M^－1＝，
设P(x₀，y₀)是椭圆＝1上任意一点P在M^－1下对应P′(x，y)，则＝，
∴所以，椭圆＝1在M^－1的作用下的新曲线的方程为
x²＋y²＝1.