Question

10．已知椭圆${C_1}：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$与椭圆${C_2}：\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$有相同的离心率，且经过点P（2，-1）．
（ I）求椭圆C₁的标准方程；
（ II）设点Q为椭圆C₂的下顶点，过点P作两条直线分别交椭圆C₁于A、B两点，若直线PQ平分∠APB，求证：直线AB的斜率为定值，并且求出这个定值．

Answer 1

分析 （ I）求出离心率，结合椭圆经过的点，列出方程组求解a，b，即可求椭圆C₁的标准方程；
（ II）由直线PQ平分∠APB和Q（0，-1），P（2，-1）⇒k_PQ=.0⇒k_PA+k_PB=0，而由直线AB：y=kx+m与椭圆联立，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），结合韦达定理转化求解即可．

解答 解：（ I）椭圆${C_1}：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$与椭圆${C_2}：\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$有相同的离心率，可得e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
椭圆${C_1}：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$经过点P（2，-1）．可得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{3}{4}}\\{\frac{4}{{a}^{2}}+\frac{1}{{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，解得a²=8，b²=2．
椭圆${C_1}：\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}=1$；
（ II）由直线PQ平分∠APB和Q（0，-1），P（2，-1）⇒k_PQ=0⇒k_PA+k_PB=0，
而由直线AB：y=kx+m与$\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}=1⇒（1+4{k^2}）{x^2}+8kmx+4{m^2}-8=0$，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则${x_1}+{x_2}=-\frac{8km}{{1+4{k^2}}}，{x_1}{x_2}=\frac{{4{m^2}-8}}{{1+4{k^2}}}$，由${k_{PA}}+{k_{PB}}=0⇒\frac{{{y_1}+1}}{{{x_1}-2}}+\frac{{{y_2}+1}}{{{x_2}-2}}=0⇒\frac{{k{x_1}+m+1}}{{{x_1}-2}}+$$\frac{{k{x_2}+m+1}}{{{x_2}-2}}=0⇒2k{x_1}{x_2}+（m+1-2k）（{x_1}+{x_2}）-4（m+1）=0⇒m（2k+1）+4{k^2}+4k+1=0$恒成立
$⇒k=-\frac{1}{2}⇒$直线AB的斜率为定值$-\frac{1}{2}$．

点评 本题考查椭圆的离心率的求法，椭圆求法求法求法直线与椭圆的位置关系的综合应用，定值问题的求法，考查转化思想以及计算能力．