Question

2．设a，b＞0，a+b=7，则$\sqrt{a+3}$+$\sqrt{b+2}$的最大值为2$\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 由x²+y²≥2xy，易得（$\frac{x+y}{2}$）²≤$\frac{{x}^{2}+{y}^{2}}{2}$，（x，y＞0），即可得到$\sqrt{a+3}$+$\sqrt{b+2}$的最大值．

解答 解：由不等式（$\frac{x+y}{2}$）²≤$\frac{{x}^{2}+{y}^{2}}{2}$，（x，y＞0），
当且仅当x=y取得等号．
则$\sqrt{a+3}$+$\sqrt{b+2}$≤2$\sqrt{\frac{a+3+b+2}{2}}$=2$\sqrt{\frac{7+5}{2}}$=2$\sqrt{6}$．
当且仅当a+3=b+2，即a=3，b=4取得最大值．
故答案为：2$\sqrt{6}$．

点评 本题考查基本不等式的运用：求最值，运用不等式（$\frac{x+y}{2}$）²≤$\frac{{x}^{2}+{y}^{2}}{2}$，（x，y＞0）是解题的关键．