Question

3．锐角△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量$\overrightarrow m=（a，\sqrt{3}b）$与$\overrightarrow n=（cosA，sinB）$平行．
（1）求角A；
（2）若$a=\sqrt{2}$，求△ABC周长的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用平面向量共线（平行）的坐标表示可得$asinB-\sqrt{3}bcosA=0$，又sinB≠0，结合正弦定理可得：$tanA=\sqrt{3}$，再结合范围0＜A＜π，即可求得A的值．
（2）由正弦定理将三角形周长表示为：$l=a+b+c=\sqrt{2}+\frac{{2\sqrt{6}}}{3}（{sinB+sinC}）$，结合$C=\frac{2π}{3}-B$，可求$sinB+sinC=sinB+sin（\frac{2π}{3}-B）=\sqrt{3}sin（B+\frac{π}{6}）$，根据范围$\frac{π}{6}＜B＜\frac{π}{2}$，可求$sinB+sinC∈（{\frac{3}{2}，\sqrt{3}}]$，从而得解周长的求值范围．

解答 解：（1）因为：$\overrightarrow m∥\overrightarrow n$，
所以：$asinB-\sqrt{3}bcosA=0$，
由正弦定理，得：$sinAsinB-\sqrt{3}sinBcosA=0$，
又因为：sinB≠0，
从而可得：$tanA=\sqrt{3}$，
由于：0＜A＜π，
所以：$A=\frac{π}{3}$．
（2）因为：由正弦定理知$\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=\frac{a}{sinA}=\frac{{\sqrt{2}}}{{\frac{{\sqrt{3}}}{2}}}=\frac{{2\sqrt{6}}}{3}$，
可得：三角形周长$l=a+b+c=\sqrt{2}+\frac{{2\sqrt{6}}}{3}（{sinB+sinC}）$，
又因为：$C=\frac{2π}{3}-B$，
所以：$sinB+sinC=sinB+sin（\frac{2π}{3}-B）=\sqrt{3}sin（B+\frac{π}{6}）$，
因为：△ABC为锐角三角形，
所以：$\frac{π}{6}＜B＜\frac{π}{2}$，$B+\frac{π}{6}∈（{\frac{π}{3}，\frac{2π}{3}}）$，$sinB+sinC∈（{\frac{3}{2}，\sqrt{3}}]$，
所以：$l∈（{\sqrt{6}+\sqrt{2}，3\sqrt{2}}]$．

点评 本题主要考查了平面向量共线（平行）的坐标表示，正弦定理，正弦函数，正切函数的图象和性质，考查了转化思想和数形结合思想，属于中档题．