Question

19．已知f（x）在定义域R上是单调增函数，F（x）=f（x）-f（2-x）．
（1）求证：F（2-x）=-F（x）；
（2）求证：F（x）在定义域R上是单调增函数；
（3）若F（a）+F（b）＞0，求证：a+b＞2．

Answer 1

分析 （1）利用代入法，求出F（2-x）的解析式，可得F（2-x）=-F（x）；
（2）根据复函函数的单调性，可得f（2-x）在定义域R上是单调减函数，结合函数单调性的性质：“增-减=增”，可得F（x）在定义域R上是单调增函数；
（3）假设F（a）+F（b）＞0时，a+b≤2，结合（1）（2）中的结论，得到矛盾，进而可得原结论正确．

解答 证明：（1）∵F（x）=f（x）-f（2-x）．
∴F（2-x）=f（2-x）-f[2-（2-x）]=f（2-x）-f（x）=-F（x）；
（2）∵f（x）在定义域R上是单调增函数，
∴f（2-x）在定义域R上是单调减函数，
根据函数单调性的性质：“增-减=增”可得：F（x）=f（x）-f（2-x）在定义域R上是单调增函数．
（3）假设F（a）+F（b）＞0时，a+b≤2，
若a+b≤2，则a≤2-b，
则F（a）+F（b）≤F（2-b）+F（b）=-F（b）+F（b）=0，
这与已知中F（a）+F（b）＞0矛盾，
故假设不成立，
故a+b＞2

点评 本题考查的知识点是抽象函数的应用，根据已知令x，y等于适合的值，进而“凑”出要解答或证明的结论，是解答的关键．